專升本高數向量組線性相關與線性無關性是什么

　　線性相關是指：在“線性”的意義下，所考慮的一些元素有關系;線性無關是指沒有關系。一般地，線性相關性對應齊次線性方程組有非零解;線性無關性對應齊次線性方程組只有零解;一個向量表示為其它向量的線性組合對應于一般的線性方程組的求解問題。

　　通俗的說法，線性相關是指：在“線性”的意義下，所考慮的一些元素有關系;線性無關是指沒有關系。

　　在向量空間中，要討論向量之間的關系，能且只能用加法與數乘這兩個運算來實現，這兩個運算體現了“線性”的含義。通過加法與數乘可以構造有限個向量的線性組合。如果一個向量不能由給定的有限個向量線性組合出來，這個向量和那些向量沒有線性關系!如果一個向量組中的任何向量和其余的沒有線性關系，就稱這個向量組線性無關，否則線性相關。

　　直觀上理解，線性相關的向量組中存在多余的向量，去掉它們不影響所考慮的問題。比如，在一個線性方程組中，如果一個方程(或其系數向量)是其余方程的線性組合，這個方程去掉得到同解的方程組。再比如，在一個向量組中，只需考慮極大無關組，它和原來的向量組是等價的。在一個有限維向量空間中，它的基很重要，基定了，整個空間中的向量就可以寫成基的線性組合的形式，且由無關性，這種表達方式是唯一的。

　　相關定理是指：如果個數多的向量組可以由個數少的向量組線性表出，那么多的向量組必定線性相關。

　　這個結論的證明主要用到未知量個數多于方程個數的齊次線性方程組必有非零解。向量的個數等于未知量的個數，未知量越多，越有可能有非零解;向量分量的個數等于方程的個數，方程越多，越有可能無解。

　　 一般地，線性相關性對應齊次線性方程組有非零解;線性無關性對應齊次線性方程組只有零解;一個向量表示為其它向量的線性組合對應于一般的線性方程組的求解問題。因此，線性相關、線性無關性的討論，本質上就是線性方程組的解的討論，這是同一個問題的兩種表現形式。

　　 任何無關向量組都可以擴充成整個空間的一組基。由此可以說明：向量空間V的任何子空間U都存在補子空間W，使得V寫成U與W的直和。這時，也說向量空間總是可分解的。對其他的代數結構，一般沒有這么好的結論。事實上，向量空間是一種非常簡單的代數結構，單獨對它的研究沒有太大的意義，只是一種實驗或練習，或者作為其它更復雜的代數結構的基礎。

　　通過給定的基，每個基元素的倍數是一個1維子空間，整個空間可寫成相應的1維子空間的直和。不難看出：一個向量組線性無關當且僅當由向量組中的向量確定的這些1維子空間成直和。由此可以定義向量空間的某些子空間的線性無關性：它們成直和。比如，不同特征值對應的特征子空間是線性無關的，因為它們成直和。即，屬于不同特征值的特征向量線性無關。